Таблица разрядов

Таблица разрядов делает видимой идею, на которой держится десятичная система: значение цифры зависит от того, где она стоит. Тройка в 307 означает три сотни, тройка в 37 — три десятка, а ноль стоит, чтобы занять пустое место и удержать тройку на своём.

Позиционная запись старше наших цифр. Вавилонские писцы записывали числа по позициям в шестидесятеричной системе примерно с 2000 года до н. э., но большую часть этого времени без нуля, так что пустой разряд приходилось угадывать по контексту. Десятичная система, которой сегодня пользуется весь мир, пришла из Индии. Бахшалийская рукопись, арифметический текст на бересте, найденный в 1881 году близ Пешавара, использует точку для нуля, а радиоуглеродная датировка, опубликованная оксфордской Бодлианской библиотекой в 2017 году, отнесла некоторые её листы к III или IV веку н. э. В 628 году Брахмагупта записал правила вычислений с нулём как полноправным числом.

Система двинулась на запад через Багдад, где аль-Хорезми около 825 года написал об индийском счёте; латинские переводы этого труда дали Европе слово алгоритм. «Книга абака» (Liber Abaci) Фибоначчи 1202 года отстаивала новые цифры вместо римских, у которых разрядов нет вовсе.

Разряды справа от единиц появились позже. Аль-Уклидиси пользовался десятичными дробями в Дамаске в 952–953 годах, а в 1585 году фламандский инженер Симон Стевин издал «Десятую» (De Thiende), небольшую брошюру, которая хотела научить каждого считать десятыми, сотыми и тысячными. Сам десятичный разделитель популяризировал Джон Непер, применивший его в 1617 году. Таблицы в индийских школах до сих пор группируют разряды по-своему — в тысячи, лакхи и кроры.

Ключевые свойства

• Каждый разряд в десять раз больше разряда справа: тысяча — это десять сотен, а сотая — десятая часть десятой.
• Значение цифры — это цифра, умноженная на значение её разряда, так что пятёрка в 52,4 стоит 5 × 10 = 50.
• Разложение по разрядам записывает число как сумму этих значений: 4307 = 4000 + 300 + 7.
• Ноль внутри числа занимает разряд: уберите 0 из 4307, и 4 и 3 сдвинутся вправо, образовав 437.
• Умножение на 10 сдвигает каждую цифру на разряд влево, а деление на 10 — на разряд вправо.
• Девять разрядов доходят до 999 999 999, на единицу меньше миллиарда.
• Разряды после запятой — десятые, сотые и тысячные — это дроби 1/10, 1/100 и 1/1000.

Где встречаются

• Счёты и японский соробан, где каждый прут — разряд, а косточка на нём считает единицы, десятки или сотни этого разряда.
• Одометры и механические счётчики, где каждое колёсико — разряд и на десяти проворачивает следующее.
• Чеки и банковские бланки, где сумму пишут цифрами и прописью, — разложение, записанное словами.
• Индийские классы, где таблицы называют разряды единицами, десятками, сотнями, тысячами, десятками тысяч, лакхами, десятками лакхов и крорами и группируют цифры как 1,00,00,000.
• Деньги: в 52,38 рубля десятые и сотые — это десятки копеек и копейки.