Таблица умножения

Самая древняя из найденных десятичных таблиц умножения — китайская. Среди бамбуковых планок Цинхуа, собрания рукописей эпохи Сражающихся царств, подаренного Университету Цинхуа в 2008 году и датированного примерно 305 годом до н. э., есть двадцать одна планка, которые вместе образуют сетку: читаешь вдоль строки и вниз по столбцу, и произведение стоит там, где они пересекаются. Таблица работает для целых чисел до 99 и для половин и на столетия старше любой другой известной десятичной таблицы.

Вавилонские писцы вели таблицы умножения гораздо раньше, на глиняных табличках примерно 2000–1600 годов до н. э., но в шестидесятеричной системе, и каждая табличка обычно перечисляла кратные одного числа. Квадратная таблица, которую в большей части Европы называют таблицей Пифагора — tavola pitagorica, table de Pythagore, — не имеет никакой известной связи с Пифагором. Атрибуция идёт от более поздних авторов; сетка десять на десять такого рода встречается во «Введении в арифметику» Никомаха Герасского, написанном около 100 года н. э.

Заучивать таблицу наизусть тоже давняя практика. Китайская считалка называлась цзюцзю, «девять девяток», потому что её проговаривали от 9 × 9 вниз; Япония переняла её как куку, и деревянные таблички VIII века сохранили её фрагменты. В 1617 году Джон Непер разрезал таблицу на пронумерованные палочки, палочки Непера, чтобы длинное умножение можно было выполнять, считывая и складывая.

Почему двенадцать? Британские и индийские таблицы заканчиваются на 12 × 12 в основном из-за денег и мер: в шиллинге было двенадцать пенсов, а в футе двенадцать дюймов. Большая часть Европы останавливается на 10 × 10. Англия сделала таблицу умножения общенациональной проверкой в 2022 году, когда ученики Year 4 впервые прошли обязательный тест по таблице умножения в пределах 12 × 12.

Ключевые свойства

• Умножение коммутативно, поэтому таблица симметрична относительно диагонали: в таблице 12 × 12 144 клетки, но лишь 78 различных пар множителей.
• На диагонали таблицы умножения стоят квадраты, а на диагонали таблицы сложения — удвоенные числа.
• Каждая строка и каждый столбец — арифметическая прогрессия: строка k растёт с шагом k.
• Сумма всех клеток таблицы n × n равна (n(n + 1)/2)², квадрату треугольного числа: 3025 для 10 × 10 и 6084 для 12 × 12.
• Многие произведения повторяются: в таблице 12 × 12 всего 59 различных чисел, а в таблице 10 × 10 — только 42.
• Доля различных произведений уменьшается по мере роста таблицы. Пал Эрдёш показал в 1955 году, что она стремится к нулю, а Кевин Форд в 2008 году нашёл точную скорость.
• В таблице умножения на 9 до 10 × 9 сумма цифр каждого произведения равна 9, потому что 9 на единицу меньше основания.

Где встречаются

• Школьные тетради во Франции, Индии и многих других странах печатают таблицу умножения на задней обложке.
• Обязательный тест по таблице умножения в Англии задаёт ученикам Year 4 двадцать пять вопросов в пределах 12 × 12, по шесть секунд на каждый.
• Палочки Непера (1617) и более поздние линейки Женайя — Люка превратили таблицу в ручной калькулятор для длинного умножения.
• Во всём мире в классах висит плакат с таблицей умножения, а пустая таблица — один из самых часто печатаемых рабочих листов по математике.
• Трюк с пальцами для умножения на 9 — загнуть k-й палец и прочитать 9 × k — работает, потому что произведение всегда равно 10(k − 1) + (10 − k).