Positieschema

Een positieschema maakt het idee zichtbaar waarop het tientallig stelsel rust: wat een cijfer waard is, hangt af van waar het staat. De 3 in 307 betekent drie honderdtallen, de 3 in 37 drie tientallen, en de nul staat er om een lege plek te bezetten, zodat de 3 blijft waar hij hoort.

Positioneel schrijven is ouder dan onze cijfers. Babylonische schrijvers noteerden getallen al rond 2000 v.Chr. naar hun positie in het zestigtallig stelsel, maar het grootste deel van die tijd zonder nul, zodat een lege plek uit de context moest worden geraden. Het tientallig stelsel dat nu wereldwijd wordt gebruikt, komt uit India. Het Bakhshali-manuscript, een rekentekst op berkenbast die in 1881 bij Peshawar werd gevonden, gebruikt een punt voor nul, en een koolstofdatering die de Bodleian Library in Oxford in 2017 publiceerde, plaatste enkele bladen in de derde of vierde eeuw n.Chr. In 628 schreef Brahmagupta regels op voor rekenen met nul als volwaardig getal.

Het stelsel reisde westwaarts via Bagdad, waar al-Chwarizmi rond 825 over het Indiase rekenen schreef; Latijnse vertalingen van dat werk gaven Europa het woord algoritme. Fibonacci’s Liber Abaci uit 1202 pleitte voor de nieuwe cijfers in plaats van de Romeinse, die helemaal geen posities kennen.

Posities rechts van de eenheden kwamen later. Al-Uqlidisi gebruikte in 952–953 in Damascus decimale breuken, en in 1585 publiceerde de Vlaamse ingenieur Simon Stevin De Thiende, een kort boekje dat iedereen wilde leren rekenen met tienden, honderdsten en duizendsten. Het decimaalteken zelf werd populair dankzij John Napier, die het in 1617 gebruikte. Schema’s op Indiase scholen groeperen de posities nog altijd op hun eigen manier, in duizenden, lakhs en crores.

Belangrijkste eigenschappen

• Elke positie is tien keer zoveel waard als de positie rechts ervan: een duizendtal is tien honderdtallen, een honderdste is een tiende van een tiende.
• De waarde van een cijfer is het cijfer maal de waarde van zijn positie, dus de 5 in 52,4 is 5 × 10 = 50 waard.
• De splitsing schrijft een getal als de som van die waarden: 4.307 = 4.000 + 300 + 7.
• Een nul in een getal bezet een positie: haal de 0 uit 4.307 en de 4 en de 3 schuiven naar rechts tot 437.
• Keer 10 schuift elk cijfer één positie naar links, gedeeld door 10 schuift elk cijfer één positie naar rechts.
• Negen posities reiken tot 999.999.999, één minder dan een miljard.
• De posities na de komma, tienden, honderdsten en duizendsten, zijn de breuken 1/10, 1/100 en 1/1000.

Waar ze opduiken

• Het telraam en de Japanse soroban, waarop elke staaf een positie is en een kraal erop eenheden, tientallen of honderdtallen van die positie telt.
• Kilometertellers en mechanische tellers, waarop elk wieltje een positie is en bij tien het volgende doordraait.
• Cheques en bankformulieren die een bedrag in cijfers en in letters vragen: de splitsing, uitgeschreven.
• Indiase klaslokalen, waar de schema’s de posities eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, tienduizendtallen, lakhs, tien lakhs en crores noemen en cijfers groeperen als 1,00,00,000.
• Geld: in € 52,38 zijn de tienden en honderdsten de munten van tien cent en één cent.