Tableau de numération

Un tableau de numération rend visible l’idée sur laquelle repose le système décimal : la valeur d’un chiffre dépend de sa place. Le 3 de 307 signifie trois centaines, le 3 de 37 trois dizaines, et le zéro est là pour occuper une place vide afin que le 3 reste où il est.

L’écriture de position est plus ancienne que nos chiffres. Les scribes babyloniens écrivaient les nombres selon leur position en base soixante dès environ 2000 av. J.-C., mais la plupart du temps sans zéro, si bien qu’une place vide devait se deviner d’après le contexte. Le système décimal utilisé aujourd’hui dans le monde entier vient de l’Inde. Le manuscrit de Bakhshali, un texte d’arithmétique sur écorce de bouleau découvert en 1881 près de Peshawar, utilise un point pour le zéro, et une datation au radiocarbone publiée par la Bodleian Library d’Oxford en 2017 a placé certains de ses feuillets au IIIᵉ ou au IVᵉ siècle de notre ère. En 628, Brahmagupta énonça des règles de calcul avec le zéro comme nombre à part entière.

Le système voyagea vers l’ouest par Bagdad, où al-Khwarizmi écrivit vers 825 sur le calcul indien ; les traductions latines de cet ouvrage ont donné à l’Europe le mot algorithme. Le Liber Abaci de Fibonacci, en 1202, plaida pour les nouveaux chiffres contre les chiffres romains, qui n’ont pas de rangs du tout.

Les rangs à droite des unités sont venus plus tard. Al-Uqlidisi utilisait des fractions décimales à Damas en 952–953, et en 1585 l’ingénieur flamand Simon Stevin publia De Thiende (La Disme), un court opuscule qui voulait apprendre à tous à calculer avec des dixièmes, des centièmes et des millièmes. Le séparateur décimal lui-même fut popularisé par John Napier, qui l’employa en 1617. Les tableaux des écoles indiennes regroupent encore les rangs à leur manière, en milliers, lakhs et crores.

Propriétés principales

• Chaque rang vaut dix fois le rang situé à sa droite : un millier, c’est dix centaines, et un centième, c’est un dixième de dixième.
• La valeur d’un chiffre est ce chiffre multiplié par la valeur de son rang : le 5 de 52,4 vaut 5 × 10 = 50.
• La décomposition écrit un nombre comme la somme de ces valeurs : 4 307 = 4 000 + 300 + 7.
• Un zéro à l’intérieur d’un nombre occupe un rang : retirez le 0 de 4 307 et le 4 et le 3 glissent vers la droite pour former 437.
• Multiplier par 10 décale chaque chiffre d’un rang vers la gauche, diviser par 10 le décale d’un rang vers la droite.
• Neuf rangs vont jusqu’à 999 999 999, un de moins qu’un milliard.
• Les rangs après la virgule, dixièmes, centièmes et millièmes, sont les fractions 1/10, 1/100 et 1/1000.

Où on les rencontre

• Le boulier et le soroban japonais, où chaque tige est un rang et chaque perle compte des unités, des dizaines ou des centaines de ce rang.
• Les compteurs kilométriques et mécaniques, où chaque roue est un rang et fait avancer la suivante en passant à dix.
• Les chèques et formulaires bancaires qui demandent une somme en chiffres et en lettres : la décomposition, écrite en toutes lettres.
• Les classes indiennes, dont les tableaux nomment les rangs unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers, lakhs, dizaines de lakhs, crores, et regroupent les chiffres en 1,00,00,000.
• L’argent : dans 52,38 €, les dixièmes et les centièmes sont les pièces de dix centimes et d’un centime.