Bảng giá trị theo hàng

Bảng giá trị theo hàng làm hiện rõ ý tưởng mà hệ thập phân dựa vào: giá trị của một chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó. Số 3 trong 307 nghĩa là ba trăm, số 3 trong 37 là ba chục, còn số 0 ở đó để giữ một chỗ trống cho số 3 khỏi bị xê dịch.

Cách viết theo vị trí còn cổ hơn chữ số của chúng ta. Các thư lại Babylon đã viết số theo vị trí trong hệ cơ số sáu mươi từ khoảng năm 2000 TCN, nhưng trong phần lớn thời gian ấy không có số 0, nên một vị trí trống phải đoán từ ngữ cảnh. Hệ thập phân mà cả thế giới dùng ngày nay bắt nguồn từ Ấn Độ. Bản thảo Bakhshali, một văn bản số học trên vỏ cây bạch dương tìm thấy năm 1881 gần Peshawar, dùng một dấu chấm cho số 0, và kết quả định tuổi bằng carbon phóng xạ do Thư viện Bodleian ở Oxford công bố năm 2017 xếp một số tờ của nó vào thế kỷ III hoặc IV. Năm 628, Brahmagupta viết ra các quy tắc tính toán với số 0 như một số thực thụ.

Hệ thống này truyền sang phía tây qua Baghdad, nơi al-Khwarizmi viết về cách tính của người Ấn khoảng năm 825; các bản dịch tiếng Latin tác phẩm ấy đã cho châu Âu từ thuật toán (algorithm). Liber Abaci của Fibonacci năm 1202 cổ vũ dùng chữ số mới thay cho chữ số La Mã, vốn hoàn toàn không có hàng.

Các hàng bên phải hàng đơn vị xuất hiện muộn hơn. Al-Uqlidisi dùng phân số thập phân ở Damascus năm 952–953, và năm 1585 kỹ sư người Flanders Simon Stevin xuất bản De Thiende, một cuốn sách nhỏ muốn dạy mọi người tính toán với phần mười, phần trăm và phần nghìn. Chính dấu thập phân được John Napier phổ biến khi ông dùng nó năm 1617. Bảng ở các trường Ấn Độ đến nay vẫn nhóm các hàng theo cách riêng, thành nghìn, lakh và crore.

Tính chất chính

• Mỗi hàng có giá trị gấp mười lần hàng bên phải nó: một nghìn là mười trăm, một phần trăm là một phần mười của một phần mười.
• Giá trị của một chữ số bằng chữ số đó nhân với giá trị của hàng, nên số 5 trong 52,4 có giá trị 5 × 10 = 50.
• Viết thành tổng là biểu diễn một số bằng tổng các giá trị ấy: 4.307 = 4.000 + 300 + 7.
• Số 0 bên trong một số giữ chỗ: bỏ số 0 khỏi 4.307 thì 4 và 3 dồn sang phải thành 437.
• Nhân với 10 dời mọi chữ số sang trái một hàng, chia cho 10 dời sang phải một hàng.
• Chín hàng đạt tới 999.999.999, kém một tỉ một đơn vị.
• Các hàng sau dấu phẩy — phần mười, phần trăm và phần nghìn — là các phân số 1/10, 1/100 và 1/1000.

Xuất hiện ở đâu

• Bàn tính và soroban Nhật Bản, nơi mỗi thanh là một hàng và mỗi hạt trên đó đếm đơn vị, chục hoặc trăm của hàng ấy.
• Đồng hồ công-tơ-mét và bộ đếm cơ học, nơi mỗi bánh xe là một hàng và quay bánh kế tiếp khi đến mười.
• Séc và biểu mẫu ngân hàng yêu cầu ghi số tiền bằng số và bằng chữ — cách viết thành tổng, viết ra bằng lời.
• Lớp học ở Ấn Độ, nơi bảng gọi các hàng là đơn vị, chục, trăm, nghìn, chục nghìn, lakh, chục lakh, crore và nhóm chữ số thành 1,00,00,000.
• Tiền: trong 52,38 đô la, hàng phần mười và phần trăm là đồng mười xu và đồng một xu.