Droite numérique

La droite numérique est plus jeune qu’elle n’en a l’air. Les mathématiques grecques traitaient nombres et longueurs comme des choses de nature différente, et l’arithmétique européenne médiévale n’avait aucun usage des nombres négatifs : il n’y avait rien à placer à gauche de zéro. La première description claire de l’image que nous dessinons aujourd’hui se trouve dans le Treatise of Algebra de John Wallis, publié à Londres en 1685. Pour donner un sens aux quantités négatives, Wallis imagina un homme qui avance et recule sur une ligne : s’il avance de cinq yards puis recule de huit, il se trouve trois yards derrière son point de départ. Le nombre négatif était un endroit de la ligne, de l’autre côté du départ.

Une fois que les nombres eurent des positions, la droite devint l’axe de la géométrie analytique, la règle sur laquelle on mesure une courbe. Au XIXᵉ siècle, elle devint quelque chose de plus exact. Richard Dedekind, dans un court ouvrage de 1872, définit les nombres réels de sorte que la droite n’ait pas de trous : chacun de ses points, y compris ceux comme √2 qu’aucune fraction n’atteint, est un nombre.

À l’école, la droite est un outil pour passer du comptage au calcul. Additionner, c’est faire un bond vers la droite, soustraire un bond vers la gauche, et un enfant voit ainsi pourquoi 3 − 5 tombe sous zéro. Des chercheurs néerlandais de l’Institut Freudenthal ont popularisé la « droite numérique vide », qui ne porte que les repères dont un problème a besoin, pour faire du calcul mental sur papier. Les normes Common Core aux États-Unis demandent aux élèves de CE2 de comprendre une fraction comme un nombre placé sur la droite — un quart est la première de quatre parts égales entre 0 et 1 —, et c’est exactement à cela que servent ici les graduations intermédiaires.

Propriétés principales

• Les nombres augmentent vers la droite et diminuent vers la gauche ; les flèches signifient que la droite continue dans les deux sens.
• La distance entre deux nombres sur la droite est la valeur de leur différence, |a − b|, dans n’importe quel ordre.
• Chaque nombre négatif est aussi loin à gauche de zéro que son opposé positif l’est à droite : −3 est le symétrique de 3 par rapport à 0.
• Entre deux fractions différentes, il y en a toujours une autre, par exemple leur moyenne : les fractions ne s’épuisent jamais entre deux graduations.
• Tous les points ne sont pas des fractions : la diagonale d’un carré unité, rabattue sur la droite au compas, marque √2, qui est irrationnel.
• Partager chaque pas entier en quatre parts égales fait tomber 2/4 sur la même graduation que 1/2 : l’idée de fractions égales en une seule image.

Où on les rencontre

• Les règles, les mètres ruban et les thermomètres sont des droites numériques avec des unités, et c’est sur un thermomètre que la plupart des gens rencontrent pour la première fois des nombres sous zéro.
• Les frises chronologiques des livres d’histoire, où les années avant notre ère s’étendent vers la gauche comme des nombres négatifs.
• Les axes x et y de tout graphique sont deux droites numériques qui se croisent en zéro.
• Les classes de primaire, où une longue droite graduée affichée au mur sert à compter en avançant, en reculant et par bonds.
• Les leçons sur les fractions, où une droite partagée en parts égales montre que 1/2, 2/4 et 4/8 sont le même nombre.