Table de multiplication

La plus ancienne table de multiplication décimale connue à ce jour est chinoise. Parmi les lattes de bambou de Tsinghua, un ensemble de manuscrits de l’époque des Royaumes combattants offert à l’université Tsinghua en 2008 et daté d’environ 305 av. J.-C., vingt et une lattes forment ensemble une grille : on suit une ligne et on descend une colonne, et le produit se trouve à leur croisement. Elle fonctionne pour les nombres entiers jusqu’à 99 et pour les demis, et elle précède de plusieurs siècles toute autre table décimale connue.

Les scribes babyloniens tenaient des tables de multiplication bien plus tôt, sur des tablettes d’argile datant d’environ 2000–1600 av. J.-C., mais en base soixante, et chaque tablette donnait le plus souvent les multiples d’un seul nombre. Le tableau carré que l’on appelle en France table de Pythagore — tavola pitagorica en italien — n’a aucun lien connu avec Pythagore. L’attribution vient d’auteurs plus tardifs ; une grille de dix sur dix de ce genre figure dans l’Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérase, écrite vers 100 apr. J.-C.

Apprendre les tables par cœur est aussi une pratique ancienne. La comptine chinoise s’appelait jiujiu, « neuf fois neuf », parce qu’on la récitait à partir de 9 × 9 en descendant ; le Japon l’a adoptée sous le nom de kuku, et des tablettes de bois du VIIIᵉ siècle en portent des fragments. En 1617, John Napier découpa la table en baguettes numérotées, les bâtons de Napier, pour que les longues multiplications se fassent par simple lecture et addition.

Pourquoi douze ? Les tableaux britanniques et indiens s’arrêtent à 12 × 12 surtout pour des raisons de monnaie et de mesure : il y avait douze pence dans un shilling et douze pouces dans un pied. Une grande partie de l’Europe s’arrête à 10 × 10. L’Angleterre a fait des tables un examen national en 2022, quand les élèves de Year 4 ont passé pour la première fois l’épreuve obligatoire des tables de multiplication, qui va jusqu’à 12 × 12.

Propriétés principales

• La multiplication est commutative, donc le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale : un tableau 12 × 12 compte 144 cases mais seulement 78 paires de facteurs différentes.
• La diagonale d’un tableau de multiplication contient les carrés ; celle d’un tableau d’addition contient les doubles.
• Chaque ligne et chaque colonne est une suite arithmétique : la ligne k avance de k en k.
• Les cases d’un tableau n × n ont pour somme (n(n + 1)/2)², le carré d’un nombre triangulaire — 3 025 pour 10 × 10 et 6 084 pour 12 × 12.
• Beaucoup de produits se répètent : un tableau 12 × 12 ne contient que 59 nombres différents, et un tableau 10 × 10 seulement 42.
• La proportion de produits différents diminue à mesure que le tableau grandit. Paul Erdős a montré en 1955 qu’elle tend vers zéro, et Kevin Ford a établi la vitesse exacte en 2008.
• Dans la table de 9 jusqu’à 10 × 9, les chiffres de chaque produit ont pour somme 9, parce que 9 vaut un de moins que la base.

Où on les rencontre

• En France, en Inde et dans bien d’autres pays, les cahiers d’écolier impriment les tables de multiplication au dos de la couverture.
• L’épreuve obligatoire des tables en Angleterre pose aux élèves de Year 4 vingt-cinq questions jusqu’à 12 × 12, chacune avec un chronomètre de six secondes.
• Les bâtons de Napier (1617) puis les réglettes de Genaille et Lucas ont fait de la table une calculatrice manuelle pour les longues multiplications.
• Les murs des salles de classe du monde entier portent une affiche des tables, et le tableau vierge est l’une des fiches de maths les plus imprimées.
• L’astuce des doigts pour la table de 9 — plier le k-ième doigt pour lire 9 × k — marche parce que le produit vaut toujours 10(k − 1) + (10 − k).