पहाड़ा तालिका

अब तक मिली सबसे पुरानी दाशमिक गुणन तालिका चीन की है। युद्धरत राज्यों के काल की पांडुलिपियों के संग्रह, चिंगहुआ बाँस-पट्टियों में, जो 2008 में चिंगहुआ विश्वविद्यालय को दान की गईं और लगभग 305 ईसा पूर्व की मानी जाती हैं, इक्कीस पट्टियाँ मिलकर एक जाल बनाती हैं: एक पंक्ति के साथ और एक स्तंभ में नीचे पढ़ें, तो गुणनफल वहाँ मिलता है जहाँ दोनों मिलते हैं। यह 99 तक के पूर्णांकों और आधे के लिए काम करती है, और किसी भी अन्य ज्ञात दाशमिक तालिका से सदियों पुरानी है।

बेबीलोन के लिपिक इससे बहुत पहले, लगभग 2000–1600 ईसा पूर्व की मिट्टी की तख्तियों पर गुणन तालिकाएँ रखते थे, पर साठ के आधार में, और हर तख्ती पर अक्सर एक ही संख्या के गुणज होते थे। यूरोप के बड़े हिस्से में जिस वर्गाकार तालिका को पाइथागोरस की तालिका कहा जाता है — tavola pitagorica, table de Pythagore — उसका पाइथागोरस से कोई ज्ञात संबंध नहीं है। यह नाम बाद के लेखकों से आया है; इस तरह का दस गुणा दस का जाल लगभग 100 ईस्वी में लिखी गेरासा के निकोमाकस की अंकगणित का परिचय में मिलता है।

पहाड़े रटना भी पुरानी परंपरा है। चीनी तुकबंदी को जियूजियू, यानी “नौ नौ”, कहा जाता था क्योंकि उसे 9 × 9 से नीचे की ओर दोहराया जाता था; जापान ने उसे कुकु के रूप में अपनाया, और आठवीं सदी की लकड़ी की तख्तियों पर उसके अंश मिलते हैं। 1617 में जॉन नेपियर ने तालिका को क्रमांकित छड़ियों में काट दिया — नेपियर की हड्डियाँ — ताकि लंबा गुणा पढ़कर और जोड़कर किया जा सके।

बारह ही क्यों? ब्रिटेन और भारत की तालिकाएँ 12 × 12 पर मुख्यतः पैसे और माप के कारण रुकती हैं: एक शिलिंग में बारह पेंस और एक फ़ुट में बारह इंच होते थे। यूरोप का बड़ा हिस्सा 10 × 10 पर रुकता है। इंग्लैंड ने 2022 में पहाड़ों को राष्ट्रीय परीक्षा बनाया, जब Year 4 के विद्यार्थियों ने पहली बार 12 × 12 तक की अनिवार्य गुणन तालिका जाँच दी।

मुख्य गुण

• गुणा क्रमविनिमेय है, इसलिए तालिका अपने विकर्ण के दोनों ओर सममित होती है: 12 × 12 की तालिका में 144 खाने होते हैं, पर गुणनखंडों के केवल 78 अलग जोड़े।
• गुणन तालिका के विकर्ण पर वर्ग संख्याएँ होती हैं; जोड़ तालिका के विकर्ण पर दुगुनी संख्याएँ।
• हर पंक्ति और हर स्तंभ एक समांतर श्रेढ़ी है: पंक्ति k, k-k के अंतर से बढ़ती है।
• n × n तालिका के सभी खानों का योग (n(n + 1)/2)² होता है, यानी एक त्रिकोणीय संख्या का वर्ग — 10 × 10 के लिए 3,025 और 12 × 12 के लिए 6,084।
• कई गुणनफल दोहराए जाते हैं: 12 × 12 की तालिका में केवल 59 अलग संख्याएँ हैं, और 10 × 10 में केवल 42।
• तालिका जितनी बड़ी होती है, अलग गुणनफलों का हिस्सा उतना घटता है। पॉल एर्डोश ने 1955 में दिखाया कि यह शून्य की ओर जाता है, और केविन फ़ोर्ड ने 2008 में इसकी सटीक दर निकाली।
• 9 के पहाड़े में 10 × 9 तक हर गुणनफल के अंकों का योग 9 होता है, क्योंकि 9 आधार से एक कम है।

कहाँ दिखती हैं

• फ़्रांस, भारत और कई अन्य देशों में स्कूली कॉपियों के पिछले कवर पर पहाड़े छपे होते हैं।
• इंग्लैंड की अनिवार्य गुणन तालिका जाँच Year 4 के विद्यार्थियों से 12 × 12 तक के पच्चीस प्रश्न पूछती है, हर एक के लिए छह सेकंड।
• नेपियर की हड्डियों (1617) और बाद की जेनाय–लुका पट्टियों ने तालिका को लंबे गुणा के लिए हाथ के कैलकुलेटर में बदल दिया।
• दुनिया भर की कक्षाओं की दीवारों पर पहाड़ों का पोस्टर लगा होता है, और खाली तालिका सबसे अधिक छापी जाने वाली गणित वर्कशीटों में से एक है।
• 9 के पहाड़े की उँगली वाली तरकीब — 9 × k पढ़ने के लिए k-वीं उँगली मोड़ना — इसलिए चलती है क्योंकि गुणनफल हमेशा 10(k − 1) + (10 − k) होता है।