Tafel van vermenigvuldiging

De oudste decimale tafel van vermenigvuldiging die tot nu toe is gevonden, komt uit China. Onder de Tsinghua-bamboestrips, een verzameling handschriften uit de periode van de Strijdende Staten die in 2008 aan de Tsinghua-universiteit werd geschonken en rond 305 v.Chr. is gedateerd, vormen eenentwintig strips samen een raster: je leest langs een rij en langs een kolom omlaag, en het product staat waar die twee elkaar kruisen. Het werkt voor hele getallen tot 99 en voor halven, en het is eeuwen ouder dan elke andere bekende decimale tafel.

Babylonische schrijvers hadden veel eerder al vermenigvuldigingstabellen, op kleitabletten van rond 2000–1600 v.Chr., maar in het zestigtallig stelsel, en elk tablet gaf meestal de veelvouden van één getal. Het vierkante schema dat in een groot deel van Europa de tafel van Pythagoras heet — tavola pitagorica, table de Pythagore — heeft geen bekend verband met Pythagoras. De toeschrijving komt van latere schrijvers; een raster van tien bij tien van dit soort staat in de Inleiding tot de rekenkunde van Nicomachus van Gerasa, geschreven rond 100 n.Chr.

Tafels uit het hoofd leren is ook een oude gewoonte. Het Chinese rijmpje heette jiujiu, ‘negen negens’, omdat het vanaf 9 × 9 naar beneden werd opgezegd; Japan nam het over als kuku, en houten plankjes uit de achtste eeuw dragen er fragmenten van. In 1617 knipte John Napier de tafel in genummerde staafjes, de staafjes van Napier, zodat lange vermenigvuldigingen konden worden gedaan door af te lezen en op te tellen.

Waarom twaalf? Britse en Indiase kaarten stoppen bij 12 × 12, vooral vanwege geld en maten: er gingen twaalf pence in een shilling en twaalf inch in een voet. Een groot deel van Europa stopt bij 10 × 10. Engeland maakte de tafels in 2022 tot landelijke toets, toen leerlingen van Year 4 voor het eerst de verplichte multiplication tables check aflegden, die tot 12 × 12 gaat.

Belangrijkste eigenschappen

• Vermenigvuldigen is commutatief, dus de kaart is symmetrisch ten opzichte van de diagonaal: een kaart van 12 × 12 heeft 144 vakjes maar slechts 78 verschillende paren factoren.
• Op de diagonaal van een vermenigvuldigingskaart staan de kwadraten; op die van een optelkaart de dubbelen.
• Elke rij en elke kolom is een rekenkundige rij: rij k telt op in stappen van k.
• De vakjes van een n × n-kaart tellen samen op tot (n(n + 1)/2)², het kwadraat van een driehoeksgetal — 3.025 voor 10 × 10 en 6.084 voor 12 × 12.
• Veel producten komen vaker voor: een kaart van 12 × 12 bevat maar 59 verschillende getallen, een kaart van 10 × 10 maar 42.
• Het aandeel verschillende producten krimpt naarmate de kaart groeit. Paul Erdős bewees in 1955 dat het naar nul gaat, en Kevin Ford bepaalde in 2008 het precieze tempo.
• In de tafel van 9 tot 10 × 9 telt de som van de cijfers van elk product op tot 9, omdat 9 één minder is dan het grondtal.

Waar ze opduiken

• Schriften in Frankrijk, India en veel andere landen hebben de tafels op de achterkant gedrukt.
• De verplichte multiplication tables check in Engeland stelt leerlingen van Year 4 vijfentwintig vragen tot 12 × 12, elk met een timer van zes seconden.
• De staafjes van Napier (1617) en de latere staven van Genaille en Lucas maakten van de tafel een handrekenapparaat voor lange vermenigvuldigingen.
• In klaslokalen over de hele wereld hangt een tafelposter, en een lege kaart is een van de meest geprinte rekenwerkbladen.
• De vingertruc voor de tafel van 9 — de k-de vinger omlaag doen om 9 × k af te lezen — werkt omdat het product altijd 10(k − 1) + (10 − k) is.