九九表・かけ算表

これまでに見つかった最古の十進法のかけ算表は中国のものです。戦国時代の写本群で、2008 年に清華大学に寄贈され、紀元前 305 年ごろのものとされる清華簡のなかに、並べると一つの格子になる 21 本の竹簡があります。行に沿って読み、列を下って読むと、交わったところに積があります。99 までの整数と 2 分の 1 に使え、知られているほかのどの十進法の表よりも何世紀も古いものです。

バビロニアの書記はもっと早く、紀元前 2000〜1600 年ごろの粘土板にかけ算表を残していますが、六十進法で、たいていは一枚に一つの数の倍数を並べたものでした。ヨーロッパの多くでピタゴラスの表（tavola pitagorica、table de Pythagore）と呼ばれる正方形の表は、ピタゴラスとの関係が確認されていません。この呼び名は後世の著者によるもので、こうした 10 × 10 の格子は、紀元 100 年ごろに書かれたゲラサのニコマコスの『算術入門』に出てきます。

表を暗記する習慣も古くからあります。中国の唱え歌は 9 × 9 から順に下がって唱えたので「九九」と呼ばれました。日本はこれを「くく」として取り入れ、8 世紀の木簡にもその断片が残っています。1617 年、ジョン・ネイピアは表を番号つきの棒に切り分けました。このネイピアの骨を使えば、大きなかけ算も読み取って足すだけでできました。

なぜ 12 までなのか。イギリスやインドの表が 12 × 12 で終わるのは主に通貨と単位のためで、1 シリングは 12 ペンス、1 フィートは 12 インチでした。ヨーロッパの多くは 10 × 10 で終わります。イングランドは 2022 年に九九を全国テストにし、Year 4 の児童が初めて 12 × 12 までの法定かけ算チェックを受けました。

主な性質

• かけ算は交換法則が成り立つので、表は対角線に対して対称です。12 × 12 の表には 144 マスありますが、異なる因数の組は 78 組しかありません。
• かけ算表の対角線には平方数が、たし算表の対角線には 2 倍の数が並びます。
• どの行もどの列も等差数列です。k の行は k ずつ増えます。
• n × n の表のマスをすべて足すと (n(n + 1)/2)²、つまり三角数の 2 乗になります。10 × 10 なら 3,025、12 × 12 なら 6,084 です。
• 多くの積はくり返し現れます。12 × 12 の表に出てくる異なる数は 59 個、10 × 10 では 42 個だけです。
• 表が大きくなるほど、異なる積の割合は小さくなります。ポール・エルデシュは 1955 年にそれが 0 に近づくことを示し、ケビン・フォードは 2008 年にその正確な速さを求めました。
• 9 の段では 10 × 9 まで、どの積も各位の数字を足すと 9 になります。9 が底より 1 小さいからです。

登場する場面

• フランスやインドなど多くの国では、学校のノートの裏表紙にかけ算表が印刷されています。
• イングランドの法定かけ算チェックでは、Year 4 の児童に 12 × 12 までの問題を 25 問、1 問 6 秒の制限時間で出します。
• ネイピアの骨（1617 年）や、のちのジュナイユ＝リュカの計算棒は、表を大きなかけ算用の手動計算機に変えました。
• 世界中の教室にかけ算表のポスターが貼られ、空欄の表は最もよく印刷される算数プリントの一つです。
• 9 の段の指のわざ（k 本目の指を折って 9 × k を読む）がうまくいくのは、積がいつも 10(k − 1) + (10 − k) になるからです。