Tavola pitagorica

La più antica tavola di moltiplicazione decimale finora trovata è cinese. Tra le listarelle di bambù di Tsinghua, un insieme di manoscritti del periodo degli Stati Combattenti donato all’Università Tsinghua nel 2008 e datato intorno al 305 a.C., ventuno listarelle formano insieme una griglia: si legge lungo una riga e giù per una colonna, e il prodotto si trova dove le due si incontrano. Funziona per i numeri interi fino a 99 e per le metà, ed è più antica di secoli di ogni altra tavola decimale conosciuta.

Gli scribi babilonesi tenevano tavole di moltiplicazione molto prima, su tavolette d’argilla di circa il 2000–1600 a.C., ma in base sessanta, e ogni tavoletta di solito elencava i multipli di un solo numero. La griglia quadrata che in Italia si chiama tavola pitagorica — table de Pythagore in francese — non ha alcun legame noto con Pitagora. L’attribuzione viene da autori successivi; una griglia dieci per dieci di questo tipo compare nell’Introduzione all’aritmetica di Nicomaco di Gerasa, scritta intorno al 100 d.C.

Anche imparare le tabelline a memoria è una pratica antica. La filastrocca cinese si chiamava jiujiu, «nove nove», perché si recitava partendo da 9 × 9 e scendendo; il Giappone la adottò come kuku, e tavolette di legno dell’VIII secolo ne conservano frammenti. Nel 1617 John Napier tagliò la tavola in bastoncini numerati, i bastoncini di Nepero, perché le moltiplicazioni lunghe si potessero fare leggendo e sommando.

Perché dodici? Le tavole britanniche e indiane arrivano a 12 × 12 soprattutto per via di monete e misure: uno scellino valeva dodici pence e un piede dodici pollici. Gran parte dell’Europa si ferma a 10 × 10. L’Inghilterra ha reso le tabelline una prova nazionale nel 2022, quando gli alunni di Year 4 hanno sostenuto per la prima volta il controllo obbligatorio delle tabelline, che arriva fino a 12 × 12.

Proprietà principali

• La moltiplicazione è commutativa, quindi la tavola è simmetrica rispetto alla diagonale: una tavola 12 × 12 ha 144 caselle ma solo 78 coppie di fattori diverse.
• La diagonale di una tavola di moltiplicazione contiene i quadrati; quella di una tavola di addizione, i doppi.
• Ogni riga e ogni colonna è una progressione aritmetica: la riga k avanza di k in k.
• Le caselle di una tavola n × n sommano (n(n + 1)/2)², il quadrato di un numero triangolare: 3.025 per 10 × 10 e 6.084 per 12 × 12.
• Molti prodotti si ripetono: una tavola 12 × 12 contiene solo 59 numeri diversi, una 10 × 10 solo 42.
• La quota di prodotti diversi si riduce man mano che la tavola cresce. Paul Erdős dimostrò nel 1955 che tende a zero, e Kevin Ford ne trovò la velocità esatta nel 2008.
• Nella tabellina del 9 fino a 10 × 9, le cifre di ogni prodotto sommano 9, perché 9 è uno meno della base.

Dove si incontrano

• I quaderni di scuola in Francia, in India e in molti altri paesi riportano le tabelline sulla quarta di copertina.
• Il controllo obbligatorio delle tabelline in Inghilterra pone agli alunni di Year 4 venticinque domande fino a 12 × 12, ciascuna con un limite di sei secondi.
• I bastoncini di Nepero (1617) e i successivi regoli di Genaille e Lucas trasformarono la tavola in una calcolatrice manuale per le moltiplicazioni lunghe.
• Nelle aule di tutto il mondo è appeso un cartellone delle tabelline, e la tavola vuota è una delle schede di matematica più stampate.
• Il trucco delle dita per la tabellina del 9 — piegare il k-esimo dito per leggere 9 × k — funziona perché il prodotto è sempre 10(k − 1) + (10 − k).