Getallenlijn

De getallenlijn is jonger dan ze lijkt. De Griekse wiskunde behandelde getallen en lengtes als verschillende soorten dingen, en de middeleeuwse Europese rekenkunde had niets aan negatieve getallen, dus links van nul viel niets te zetten. De eerste duidelijke beschrijving van het beeld dat we nu tekenen staat in John Wallis’ Treatise of Algebra, in 1685 in Londen verschenen. Om negatieve grootheden betekenis te geven, stelde Wallis zich een man voor die over een lijn heen en weer loopt: als hij vijf yard vooruit gaat en acht terug, staat hij drie yard achter zijn beginpunt. Het negatieve getal was een plek op de lijn, aan de andere kant van de start.

Toen getallen eenmaal een plaats hadden, werd de lijn de as van de analytische meetkunde, de liniaal waarlangs een kromme wordt gemeten. In de negentiende eeuw werd ze iets preciezers. Richard Dedekind definieerde in een kort boek uit 1872 de reële getallen zo dat de lijn geen gaten heeft: elk punt erop, ook punten als √2 die geen breuk bereikt, is een getal.

Op school is de lijn een hulpmiddel voor de stap van tellen naar rekenen. Optellen is een sprong naar rechts en aftrekken een sprong naar links, en zo ziet een kind waarom 3 − 5 onder nul uitkomt. Nederlandse onderzoekers van het Freudenthal Instituut maakten de ‘lege getallenlijn’ bekend, met alleen de streepjes die een opgave nodig heeft, als manier om hoofdrekenen op papier te zetten. De Common Core-standaarden in de Verenigde Staten vragen leerlingen in de derde klas een breuk te begrijpen als een getal op de getallenlijn — een kwart is het eerste van vier gelijke delen tussen 0 en 1 — en precies daarvoor dienen de tussenstreepjes hier.

Belangrijkste eigenschappen

• Naar rechts worden de getallen groter en naar links kleiner; de pijlpunten betekenen dat de lijn in beide richtingen doorloopt.
• De afstand tussen twee getallen op de lijn is de grootte van hun verschil, |a − b|, in welke volgorde ook.
• Elk negatief getal ligt even ver links van nul als zijn positieve tegenhanger rechts ervan: −3 is het spiegelbeeld van 3 in 0.
• Tussen twee verschillende breuken ligt altijd nog een breuk, bijvoorbeeld hun gemiddelde, dus de breuken raken tussen twee streepjes nooit op.
• Niet elk punt is een breuk: de diagonaal van een eenheidsvierkant, met een passer op de lijn gedraaid, markeert √2, en dat is irrationaal.
• Als je elke hele stap in vier gelijke delen verdeelt, valt 2/4 op hetzelfde streepje als 1/2: het idee van gelijkwaardige breuken in één plaatje.

Waar ze opduiken

• Linialen, rolmaten en thermometers zijn getallenlijnen met eenheden, en op een thermometer zien de meeste mensen voor het eerst getallen onder nul.
• Tijdlijnen in geschiedenisboeken, waarop de jaren voor onze jaartelling als negatieve getallen naar links lopen.
• De x- en de y-as van elke grafiek zijn twee getallenlijnen die elkaar in nul kruisen.
• Basisschoolklassen, waar een lange getallenlijn aan de muur wordt gebruikt om door te tellen, terug te tellen en met sprongen te tellen.
• Breukenlessen, waarin een lijn die in gelijke delen is verdeeld laat zien dat 1/2, 2/4 en 4/8 hetzelfde getal zijn.