数直線

数直線は見た目より新しいものです。ギリシアの数学は数と長さを別の種類のものとして扱い、中世ヨーロッパの算術では負の数は使い道がなかったので、0 の左に置くものはありませんでした。今わたしたちが描く図をはっきり説明した最初のものは、1685 年にロンドンで出版されたジョン・ウォリスの『代数論』（Treatise of Algebra）です。負の量に意味を持たせるため、ウォリスは線の上を行ったり来たりする人を考えました。5 ヤード進んで 8 ヤード戻れば、出発点の 3 ヤード後ろに立つことになります。負の数とは、線の上の、出発点の向こう側にある場所でした。

数が位置を持つようになると、直線は解析幾何学の軸、つまり曲線を測る物差しになりました。19 世紀にはさらに厳密なものになります。リヒャルト・デデキントは 1872 年の短い本で、直線にすき間がないように実数を定義しました。分数ではたどり着けない √2 のような点も含めて、直線上のどの点も数なのです。

学校では、数直線は数えることから計算することへ進むための道具です。たし算は右へのジャンプ、ひき算は左へのジャンプで、子どもは 3 − 5 がなぜ 0 より下になるのかを目で見ることができます。オランダのフロイデンタール研究所の研究者たちは、問題に必要な目盛りだけを書く「空の数直線」を、暗算を紙の上で進める方法として広めました。アメリカの Common Core 基準は 3 年生に、分数を数直線上の数として理解すること（4 分の 1 は 0 と 1 の間を 4 等分した最初の一つ）を求めています。ここでの細かい目盛りはまさにそのためのものです。

主な性質

• 数は右へ行くほど大きく、左へ行くほど小さくなります。矢印は直線が両方向に続くことを表します。
• 直線上の二つの数の距離は、順番にかかわらず差の絶対値 |a − b| です。
• 負の数はどれも、対応する正の数が 0 の右にあるのと同じだけ左にあります。−3 は 0 について 3 を折り返した位置です。
• 異なる二つの分数の間には必ず別の分数（たとえば二つの平均）があるので、二つの目盛りの間の分数は尽きることがありません。
• すべての点が分数とは限りません。単位正方形の対角線をコンパスで直線に移すと √2 の位置になり、√2 は無理数です。
• 1 つの区間を 4 等分すると、2/4 は 1/2 と同じ目盛りに来ます。同じ大きさの分数という考えが一枚の図で見えます。

登場する場面

• 物差し、巻き尺、温度計は単位つきの数直線で、多くの人が 0 より小さい数に初めて出会うのは温度計です。
• 歴史の教科書の年表。紀元前の年は負の数のように左へ伸びていきます。
• どのグラフの x 軸と y 軸も、0 で交わる二本の数直線です。
• 教室の壁に貼られた長い数直線で、数え足し、数え戻し、とび数えをする小学校の授業。
• 等しく分けた数直線で、1/2、2/4、4/8 が同じ数だと示す分数の授業。