संख्या रेखा

संख्या रेखा जितनी लगती है उससे कम पुरानी है। यूनानी गणित संख्याओं और लंबाइयों को अलग-अलग तरह की चीज़ें मानता था, और मध्ययुगीन यूरोपीय अंकगणित को ऋणात्मक संख्याओं की कोई ज़रूरत नहीं थी, इसलिए शून्य के बाईं ओर रखने को कुछ था ही नहीं। आज हम जो चित्र बनाते हैं उसका पहला स्पष्ट वर्णन जॉन वॉलिस की 1685 में लंदन से छपी Treatise of Algebra में मिलता है। ऋणात्मक राशियों को अर्थ देने के लिए वॉलिस ने एक रेखा पर आगे-पीछे चलते आदमी की कल्पना की: वह पाँच गज़ आगे जाए और आठ गज़ पीछे लौटे, तो वह शुरुआत से तीन गज़ पीछे खड़ा होगा। ऋणात्मक संख्या रेखा पर एक जगह थी, शुरुआत के दूसरी ओर।

जब संख्याओं को स्थान मिल गया, तो रेखा निर्देशांक ज्यामिति की अक्ष बन गई, वह पैमाना जिससे वक्र नापा जाता है। उन्नीसवीं सदी में यह और सटीक हुई। रिचर्ड डेडेकिंड ने 1872 की एक छोटी किताब में वास्तविक संख्याओं को ऐसे परिभाषित किया कि रेखा में कोई छेद न रहे: उस पर हर बिंदु, √2 जैसे बिंदु भी जिन तक कोई भिन्न नहीं पहुँचती, एक संख्या है।

स्कूल में रेखा गिनने से गणना की ओर बढ़ने का औज़ार है। जोड़ दाईं ओर की छलाँग है और घटाव बाईं ओर की, इसलिए बच्चा देख पाता है कि 3 − 5 शून्य से नीचे क्यों पहुँचता है। फ़्रॉयडेंथाल संस्थान के डच शोधकर्ताओं ने “खाली संख्या रेखा” को लोकप्रिय बनाया, जिसमें केवल वही निशान होते हैं जो किसी सवाल को चाहिए, ताकि मौखिक गणित कागज़ पर हो सके। अमेरिका के Common Core मानक तीसरी कक्षा के बच्चों से भिन्न को संख्या रेखा पर एक संख्या के रूप में समझने की अपेक्षा करते हैं — एक-चौथाई, 0 और 1 के बीच के चार बराबर भागों में पहला है — और यहाँ के बीच वाले निशान ठीक इसी के लिए हैं।

मुख्य गुण

• संख्याएँ दाईं ओर बढ़ती और बाईं ओर घटती हैं; तीर के सिरे बताते हैं कि रेखा दोनों दिशाओं में आगे जाती है।
• रेखा पर दो संख्याओं की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान |a − b| है, क्रम चाहे जो हो।
• हर ऋणात्मक संख्या शून्य के बाईं ओर उतनी ही दूर है जितना उसका धनात्मक जोड़ीदार दाईं ओर: −3, 0 के सापेक्ष 3 का प्रतिबिंब है।
• किन्हीं दो अलग भिन्नों के बीच हमेशा एक और भिन्न होती है, जैसे उनका औसत, इसलिए दो निशानों के बीच भिन्न कभी ख़त्म नहीं होतीं।
• हर बिंदु भिन्न नहीं है: इकाई वर्ग का विकर्ण परकार से रेखा पर उतारा जाए तो वह √2 को चिह्नित करता है, जो अपरिमेय है।
• हर पूरे कदम को चार बराबर भागों में बाँटने से 2/4 उसी निशान पर आता है जिस पर 1/2: तुल्य भिन्नों का विचार एक ही चित्र में।

कहाँ दिखती हैं

• पटरी, नापने का फ़ीता और थर्मामीटर इकाइयों वाली संख्या रेखाएँ हैं, और ज़्यादातर लोग शून्य से नीचे की संख्याओं से पहली बार थर्मामीटर पर ही मिलते हैं।
• इतिहास की किताबों की समय-रेखाएँ, जिनमें ईसा पूर्व के वर्ष ऋणात्मक संख्याओं की तरह बाईं ओर फैलते हैं।
• हर ग्राफ़ की x और y अक्षें दो संख्या रेखाएँ हैं जो शून्य पर काटती हैं।
• प्राथमिक कक्षाएँ, जहाँ दीवार पर लगी लंबी संख्या रेखा आगे गिनने, पीछे गिनने और छलाँग लगाकर गिनने के काम आती है।
• भिन्न के पाठ, जहाँ बराबर भागों में बँटी रेखा दिखाती है कि 1/2, 2/4 और 4/8 एक ही संख्या हैं।