Linea dei numeri

La linea dei numeri è più giovane di quanto sembri. La matematica greca trattava numeri e lunghezze come cose di natura diversa, e l’aritmetica europea medievale non sapeva che farsene dei numeri negativi, quindi a sinistra dello zero non c’era nulla da mettere. La prima descrizione chiara dell’immagine che disegniamo oggi si trova nel Treatise of Algebra di John Wallis, pubblicato a Londra nel 1685. Per dare un senso alle quantità negative, Wallis immaginò un uomo che avanza e indietreggia lungo una linea: se avanza di cinque iarde e indietreggia di otto, si trova tre iarde dietro il punto di partenza. Il numero negativo era un luogo sulla linea, dall’altra parte della partenza.

Quando i numeri ebbero una posizione, la linea divenne l’asse della geometria analitica, il righello su cui si misura una curva. Nell’Ottocento divenne qualcosa di più preciso. Richard Dedekind, in un breve libro del 1872, definì i numeri reali in modo che la linea non avesse buchi: ogni suo punto, compresi quelli come √2 che nessuna frazione raggiunge, è un numero.

A scuola la linea è uno strumento per il passaggio dal contare al calcolare. Addizionare è un salto a destra e sottrarre un salto a sinistra, e così un bambino vede perché 3 − 5 finisce sotto lo zero. Ricercatori olandesi dell’Istituto Freudenthal hanno diffuso la «linea dei numeri vuota», con solo i segni che servono a un problema, come modo di fare calcolo mentale su carta. Gli standard Common Core negli Stati Uniti chiedono agli alunni di terza di capire una frazione come un numero sulla linea — un quarto è la prima di quattro parti uguali tra 0 e 1 —, ed è proprio a questo che servono qui le tacche intermedie.

Proprietà principali

• I numeri crescono verso destra e diminuiscono verso sinistra; le frecce indicano che la linea prosegue in entrambe le direzioni.
• La distanza tra due numeri sulla linea è il valore assoluto della loro differenza, |a − b|, in qualsiasi ordine.
• Ogni numero negativo sta a sinistra dello zero tanto quanto il suo opposto positivo sta a destra: −3 è il simmetrico di 3 rispetto a 0.
• Tra due frazioni diverse ce n’è sempre un’altra, per esempio la loro media, quindi tra due tacche le frazioni non finiscono mai.
• Non tutti i punti sono frazioni: la diagonale di un quadrato unitario, ribaltata sulla linea con il compasso, segna √2, che è irrazionale.
• Dividere ogni passo intero in quattro parti uguali fa cadere 2/4 sulla stessa tacca di 1/2: l’idea di frazioni equivalenti in un’unica immagine.

Dove si incontrano

• Righelli, metri a nastro e termometri sono linee dei numeri con le unità, ed è su un termometro che la maggior parte delle persone incontra per la prima volta i numeri sotto lo zero.
• Le linee del tempo dei libri di storia, dove gli anni avanti Cristo si estendono verso sinistra come numeri negativi.
• Gli assi x e y di ogni grafico sono due linee dei numeri che si incrociano nello zero.
• Le classi della primaria, dove una lunga linea dei numeri appesa al muro serve per contare in avanti, all’indietro e per salti.
• Le lezioni sulle frazioni, dove una linea divisa in parti uguali mostra che 1/2, 2/4 e 4/8 sono lo stesso numero.