Recta numérica

La recta numérica es más joven de lo que parece. Las matemáticas griegas trataban números y longitudes como cosas de distinta naturaleza, y la aritmética europea medieval no tenía uso para los números negativos, así que no había nada que poner a la izquierda del cero. La primera descripción clara de la imagen que hoy dibujamos está en el Treatise of Algebra de John Wallis, publicado en Londres en 1685. Para dar sentido a las cantidades negativas, Wallis imaginó a un hombre que avanza y retrocede por una línea: si avanza cinco yardas y retrocede ocho, queda tres yardas por detrás de donde empezó. El número negativo era un lugar de la línea, al otro lado de la salida.

Una vez que los números tuvieron posición, la recta se convirtió en el eje de la geometría analítica, la regla con la que se mide una curva. En el siglo XIX pasó a ser algo más exacto. Richard Dedekind, en un breve libro de 1872, definió los números reales de modo que la recta no tuviera huecos: cada uno de sus puntos, incluidos los que, como √2, no alcanza ninguna fracción, es un número.

En la escuela, la recta es una herramienta para pasar de contar a calcular. Sumar es un salto a la derecha y restar un salto a la izquierda, y así un niño ve por qué 3 − 5 cae por debajo de cero. Investigadores neerlandeses del Instituto Freudenthal promovieron la «recta numérica vacía», con solo las marcas que necesita un problema, como forma de hacer cálculo mental sobre papel. Los estándares Common Core de Estados Unidos piden a los alumnos de tercer grado entender una fracción como un número de la recta —un cuarto es la primera de cuatro partes iguales entre 0 y 1—, y para eso sirven precisamente las marcas intermedias de aquí.

Propiedades clave

• Los números crecen hacia la derecha y decrecen hacia la izquierda; las puntas de flecha indican que la recta sigue en ambos sentidos.
• La distancia entre dos números de la recta es el valor absoluto de su diferencia, |a − b|, en cualquier orden.
• Cada número negativo está tan a la izquierda del cero como su opuesto positivo a la derecha: −3 es el reflejo de 3 respecto a 0.
• Entre dos fracciones distintas siempre hay otra, por ejemplo su media, así que las fracciones nunca se agotan entre dos marcas.
• No todos los puntos son fracciones: la diagonal de un cuadrado unidad, llevada a la recta con un compás, marca √2, que es irracional.
• Dividir cada paso entero en cuatro partes iguales hace que 2/4 caiga en la misma marca que 1/2: la idea de fracciones equivalentes en una sola imagen.

Dónde aparecen

• Las reglas, las cintas métricas y los termómetros son rectas numéricas con unidades, y en un termómetro es donde la mayoría conoce por primera vez los números bajo cero.
• Las líneas del tiempo de los libros de historia, donde los años antes de nuestra era se extienden hacia la izquierda como números negativos.
• Los ejes x e y de cualquier gráfica son dos rectas numéricas que se cruzan en el cero.
• Las aulas de primaria, donde una larga recta numérica en la pared sirve para contar hacia delante, hacia atrás y de tantos en tantos.
• Las clases de fracciones, donde una recta dividida en partes iguales muestra que 1/2, 2/4 y 4/8 son el mismo número.